The migrant crisis continued to intensify after the anti-migrant law had been enacted.
The migrant crisis continued intensifying after the anti-migrant law had been enacted.

Кризис переселения так и остался усиливающимся после введения в действие антимиграционного закона. (закон никак не повлиял на кризис и его усиление).
Кризис переселения только стал усиливаться после введения в действие антимиграционного закона. (до закона кризис почти прекратился, а закон его возобновил и усилил, т.е. спровоцировал его рост).

Можно еще проще поступить:

• Кризис переселения продолжал усиливаться после введения в действие антимиграционного закона.
• Кризис переселения продолжил усиливаться после введения в действие антимиграционного закона.

They continued to applaud for five minutes.
They continued applauding for five minutes.

Они аплодировали не переставая 5 минут.
(зрители затихли, пока объявляли победителя, а потом) Они продолжили аплодировать в течении 5 минут.

He continues to drink, despite what the doctor says.
He continues drinking, despite what the doctor says.

Он так и пьёт, несмотря на то, что говорит доктор.
Он продолжает пить, несмотря на то, что говорит доктор.

Most elderly people want to continue living at home for as long as they can.
Most elderly people want to continue to live at home for as long as they can.

Большинство пожилых людей хотят продолжать жить дома как можно дольше (встают перед выбором и делают его в пользу дома).
Большинство пожилых людей хотят так и продолжать жить дома до самого конца.

He never continues to tell his stories when she comes.
He never continues telling his stories when she comes.

Когда она приходит, он сразу прекращает рассказывать свои истории.
Когда она приходит, он прекращает рассказывать свои истории.

They continued to argue for a long time.
They continued arguing for a long time.

Они долго спорили не переставая.
Они продолжили спорить и делали это еще долго.

I've been learning English for ages but continue to forget its rules.
I've been learning English for ages but continue forgetting its rules.

Я учу английский уже целую вечность, но так и продолжаю забывать правила.
Я учу английский уже целую вечность, но продолжаю забывать правила.

We continued to walk along the road for some time.
We continued walking along the road for some time.

Мы продолжали по идти дороге некоторое время.
Мы продолжили идти по дороге еще некоторое время.

Tom continued chasing Jerry.
Tom continued to chase Jerry.

Том продолжил преследовать Джерри.
Том продолжал преследовать Джерри.

The door continued to bang all night.
The door continued banging all night.

Дверь продолжала стучать всю ночь.
Дверь продолжила стучать до утра.

Only the best will continue to study here.
Only the best will continue studying here.

Только лучшие будут продолжать учиться здесь.
Только лучшие продолжат учиться здесь.

He picked up his book and continued to read.
He picked up his book and continued reading.

(Отвлекшись на секунду,) Он захватил свою книгу и продолжил читать (то, что читал).
(Вернувшись с работы,) Он взял свою книгу и продолжил читать.

When asked about the money again, he continued to lie.
When asked about the money again, he continued lying.

Когда его спросили про деньги снова, он продолжал лгать.
Когда его спросили про деньги снова, он продолжил лгать.

Despite all the warnings, many people continue to smoke.
Despite all the warnings, many people continue smoking.

Несмотря на все предупреждения многие люди так и продолжают курить.
Несмотря на все предупреждения многие люди продолжают курить.

He has continued to discover America.
He has continued discovering America.

Он продолжал открывать Америку.
Он продолжил открывать Америку.

Some people have lost work, and this will continue to happen.
Some people have lost work, and this will continue happening.

Некоторые люди потеряли работу, и это так и будет продолжаться.
Некоторые люди потеряли работу, и это продолжится.

I double dare you to continue to say “what?”.
I double dare you to continue saying “what?”

Я заставляю тебя продолжать говорить “Что?”.
Я заставляю тебя продолжить говорить “Что?”.

The play continues to draw.
The play continues drawing.

Пьеса так и не теряет популярность.
Пьеса продолжает пользоваться успехом.

I saw him continue to climb the cliff.
I saw him continue climbing the cliff.

Я видел, как он продолжал карабкаться на утес.
Я видел, как он продолжил карабкаться на утес.