1. Автор использует литературный приём называемый катахрезой.

there was a gentle knock at the door, and a little voice cried out = в дверь тихо постучали и чей-то голосок прокричал

поэтому глагол to cry оказывается уже задействованным в создании этой фигуры языка, а смысл передачи информации выражается глаголом to say.

2.

The next day, just as the princess had sat down to dinner, she heard a strange noise - tap, tap - plash, plash - as if something was coming up the marble staircase, and soon afterwards there was a gentle knock at the door, and a little voice cried out and said:

На следующий день, не успела принцесса сесть за обеденный стол, как услышала странные звуки- “хлюп-хлюп, шлёп-шлёп” - как будто кто-то поднимался по мраморной лестнице. Вскоре после этого донёсся тихий стук в дверь и чей-то тоненький голосок громко пропел:

поэтому глагол to cry оказывается уже задействованным в создании этой фигуры языка, а смысл передачи информации выражается глаголом to say.

т.е. to cry нужно чтобы выделить/оттенить/акцентировать little (voice)?
Что будет со смыслом, если убрать say и оставить только cry?

чей-то тоненький голосок громко пропел

это как так: тихо громко пропеть?

т.е. to cry нужно чтобы выделить/оттенить/акцентировать little (voice)?

да

Что будет со смыслом, если убрать say и оставить только cry?

Не знаю почему нельзя совместить в cry и функцию образования катахрезы (наверное, для передачи эмоции принцессы при восприятии) и функцию передачи информации.

Вот в knock эти функции вроде совмещены. Что мешает сделать это в cry?

Возможно если такого разделения не будет, то пропадёт та “отчётливость” и акцентированность, которой хотел добиться автор. Или убрать say это грамматически неправильно?

это как так: тихо громко пропеть?

Пока не могу придумать ничего благозвучного

Я не знаю какова была цель автора при использовании данного лит. приёма. Моя гипотеза в том, что он намеревался показать нервное напряжение принцессы, состояние испуга когда восприятие обостряется и тихие звуки кажутся громкими. Возможно стоит передать это каким-то другим образом, не пытаясь дословно повторить катахрезу.

Например.

На следующий день, не успела принцесса сесть за обеденный стол, как услышала странные звуки- “хлюп-хлюп, шлёп-шлёп” - как будто кто-то поднимался к двери по мраморной лестнице. Вскоре до испуганной принцессы донёсся тихий стук и еле слышный голосок пропел:

Или убрать say это грамматически неправильно?

Грамматически правильно, но без say не привязать последующий текст мольбы, потому что cry out это просто выкрик или манера просьбы (протест, мольба и т.п.)