похоже, что across это ещё пространство/направление а в through есть взаимодействие с субстанцией (каким либо образом субстантивированными пространством и временем).

1. I slept right through the alarm — я не слышал звона будильника и поэтому проспал
2. We cut across the field — мы пошли напрямик через поле
3. She babied him through all the years — она нянчилась с ним долгие годы (акцент на годы, “все эти годы”)
She babied him across all the years — она нянчилась с ним долгие годы (акцент на то, что нянчилась продолжительный период времени)
4. He banged his head as he went through the doorway — входя, он стукнулся головой о притолоку
5. Arrows of lightning shot through the sky — небо прорезали зигзаги молний
6. The moon burst through the clouds — луна проглядывала сквозь тучи
7. The troopships were convoyed across the Atlantic — войсковые транспорты конвоировались через Атлантический океан
8. Your only chance of success lies through this channel — вы можете достигнуть успеха только этим путём
9. He was brought into contact with her across an interest in music — их свёл интерес к музыке
10. She boarded across the street one door down from us — она снимала комнату в доме, стоявшем наискосок от нашего на другой стороне улицы

through - СКВОЗЬ(субстанцию, пр-во, время), а across - ЧЕРЕЗ(субстанцию, пр-во, время). В какой-то мере непрерывно/дискретно, т.е. при through есть/интересует непрерывность и то, что происходит в процессе, а при across только начальная и конечные точки.
1. I slept right through the alarm — я не слышал звона будильника и поэтому проспал
2. We cut through/across the field — мы пошли напрямик через поле
3. She babied him through all the years — она нянчилась с ним долгие годы
4. He banged his head as he went through the doorway — входя, он стукнулся головой о притолоку
5. Arrows of lightning shot across the sky — небо прорезали зигзаги молний
6. The moon burst through the clouds — луна проглядывала сквозь тучи
7. The troopships were convoyed across the Atlantic — войсковые транспорты конвоировались через Атлантический океан
8. Your only chance of success lies through this channel — вы можете достигнуть успеха только этим путём
9. He was brought into contact with her through an interest in music — их свёл интерес к музыке
10. She boarded across the street one door down from us — она снимала комнату в доме, стоявшем наискосок от нашего на другой стороне улицы

Во 2м задании контекст определит точнее.

Может так?
through = через, сквозь - то есть преодолевая сопротивление
across = через - не встречая сопротивления

through the river - в брод
across the river - по мосту

Наверное стоит дополнить рисунок Романа, тем, что в случае с across “колбаса” тоже существует, но служит лишь для указание направления действия (не угрожает действию).

Точно, Виталя! При across “колбаса” вырождается, схлопывается в отрезок. А при through вариантов развития уйма - по всей площади “колбасы”.
У меня один из вариантов рисунка в голове был такой.

Даю ссылку Seth Lindstromberg - English Prepositions Explained: Revised Edition

Глубокое тебе спасибо

Ну теперь, когда ядерные перед глазами (и за ними), можно и проанализировать задание = 10 фраз с пропусками - нужно прокомментировать каждый пункт или только те, которые интересны. Например,
1. I slept right through the alarm — я не слышал звона будильника и поэтому проспал → through, потому что структура динамическая с маркером динамизма проспал и не слышал = планировал, но не смог реализовать план = наличествует переменная.

Делаем динамическую структуру статической (т.е. применим метод антитезиса) I slept right across the alarm и смысл высказывания меняется на противоположный: Я спал ровно то время, пока звонил будильник = т.е. заснул прямо в начале звона будильника и пока он звенит - я сплю, как только перестал звонить - я проснулся. ⇒ звон = сон, а не тишина = сон → алогизм и комизм.

Доп. задание:

Переведите на русский язык.

It was that night we slept across the street from the bar.

2. We cut across the field — мы пошли напрямик через поле (просто так дорога короче получается, всегда так ходим)
We cut through the field — мы пошли напрямик через поле (например поле заминировано, в благоприятном исходе похода уверенности не было)

3. She babied him through all the years — она нянчилась с ним долгие годы (при этом постоянно ждала, что её заменят, что ребёнка заберут или что-то в таком роде, но этого не происходило) She babied him across all the years — она нянчилась с ним долгие годы (с ней был подписан договор и она знала, что всё будет именно так и именно столько она будет нянчится)

4. He banged his head as he went through the doorway — входя, он стукнулся головой о притолоку (он знал, что проход невысокий, пригибался, старался избежать столкновения, но оступился и всё равно стукнулся)
He banged his head as he went across the doorway — входя, он стукнулся головой о притолоку (он заметил эту притолоку только когда об неё шабаркнулся)

5. Arrows of lightning shot across the sky — небо прорезали зигзаги молний
Arrows of lightning shot through the sky — небо прорезали зигзаги молний (наверное можно использовать как “поэтический” приём. Что бы ввести такой “персонаж/объект” как “небо”, который беспощадно разрезается молниями)

6. The moon burst through the clouds — луна проглядывала сквозь тучи (луна то исчезала, то появлялся её край, ветер гнал тучи по небу, невозможно было предсказать когда она выглянет в след. раз)
The moon burst across the clouds — луна проглядывала сквозь тучи (ветра нет. тучи в рассматриваемом масштабе времени неподвижны, луна видна между тучами целиком или её часть)

7. The troopships were convoyed across the Atlantic — войсковые транспорты конвоировались через Атлантический океан (им ничего не угрожало, они всегда пребывали в пункт назначения по одному и тому же маршруту)
The troopships were convoyed through the Atlantic — войсковые транспорты конвоировались через Атлантический океан (это океан был опасным местом, вражеские подводные лодки могли появиться в любую минуту, никто не давал гарантии удачного прибытия в пункт назначения)

8. Your only chance of success lies through this channel — вы можете достигнуть успеха только этим путём (путь будет сложным, вам придётся попотеть и возможно успеха вы не достигнете)
Your only chance of success lies across this channel - вы можете достигнуть успеха только этим путём (стоит вам только выбрать это путь, и вы гарантированно достигнете успеха)

9. He was brought into contact with her across an interest in music — их свёл интерес к музыке (они оба интересовались музыкой, но это не важно, а суть в том, что на этом фоне они где-то встретились (например на концерте) и познакомились)
He was brought into contact with her through an interest in music — их свёл интерес к музыке (например,он увлечённо занимался музыкой (играл, давал концерты, гастролировал) и на этом “пути” он случайно повстречал её (она к музыке вообще отношения могла не иметь)

10. She boarded across the street one door down from us — она снимала комнату в доме, стоявшем наискосок от нашего на другой стороне улицы

Переведите на русский язык.

It was that night we slept across the street from the bar. - Так получилось, что ночью мы спали на другой стороне улицы напротив бара.

It was that night we slept across the street from the bar.

Это была как раз та ночь, когда мы спали(заснули) напротив бара.
Имеют ввиду, что как раз тогда они после бара обошлись без приключений, просто перешли дорогу и гдето там и упали спать (может отель, а может и лавка)

Это была как раз та ночь, когда мы спали(заснули) напротив бара.

т.е. такие пьяные были, что упали и лежали прямо на улице = поперек улицы = across the street