1. The small boy was at the table. ( Маленький мальчик играл/писал/ел за столом),т.е использовал стол, по его прямому назначению.
The small boy was beside the table. ( Маленький мальчик стоял/сидел/находился около стола….), т.е стол тут используется не в прямом, а в переносном значении.
2. At-функциональное стяжение; beside-пространственно-субстанционное.

Все верно. Осталось нарисовать ядерные схемы.

Ядерные схемы верные.

Доп. вопрос на ядерные схемы:

Какая смысловая разница между = придумай расширенные ситуации-контексты:

1.
He works at a bakery (= пекарня).
He works in a bakery.

2.
He waved (= махать руками) at the baker (= пекарь).
He waved to the baker.

1.
He works at a bakery.(Он(=пекарь,кассир) работает в пекарне)
He works in a bakery.(Он(=например, человек, который раздает буклетики) в здании пекарни.)
2.
He waved at the baker.(Он(=кассир) махнул пекарю(что-то по поводу работы))
He waved to the baker.(Он(=кассир) махнул на пекаря(какие-то эмоции))

1. совершенно верно
2. как-то бы расширить еще контекст

Доп. Вопросы:

1. В чем смысловое отличие между:

Замахал на пекаря
Махнул пекарю
?

2. Как соотносятся друг к другу:

He waved at the baker
He waved to the baker
Замахал на пекаря
Махнул пекарю
?

1.
В чем смысловое отличие между:
Замахал на пекаря(Какие-то эмоции, не связанные с прямой деятельностью пекарни, например, ссора между пекарем и кассиром)
Махнул пекарю(Тут прямая связь, махнул, например, чтобы пекарь нес булочки)
2.
Как соотносятся друг к другу:
He waved at the baker(Махнул пекарю)
He waved to the baker(Замахал на пекаря)

He waved at the baker(Махнул пекарю)
He waved to the baker(Замахал на пекаря)

Наоборот. Почему?

He waved at the baker(Махнул пекарю)
He waved to the baker(Замахал на пекаря)
Почему наооборот? At-функциональное стяжение. Махнул пекарю(Тут прямая связь, махнул, например, чтобы пекарь нес булочки)
to-эмоции Замахал на пекаря(Какие-то эмоции, не связанные с прямой деятельностью пекарни, например, ссора между пекарем и кассиром)

Махнул пекарю(Тут прямая связь, махнул, например, чтобы пекарь нес булочки)

т.е. просто подал сигнал кому-то = см. нижнюю ядерную схему

Какие-то эмоции, не связанные с прямой деятельностью пекарни, например, ссора между пекарем и кассиром

эмоциональность признак проникновения вовнутрь объекта воздействия = см. верхнюю ядерную схему

Доп. Вопрос:

1. Какой падеж морфологизирует смысловую разницу:

покашляй мне ← врач говорит пациенту, чтобы услышать хрипы в легких
покашляй на меня ← ребенок говорит другому ребенку, чтобы заразиться гриппом и не ходить в школу
?

2. Как соотносятся друг к другу:

Cough [kɒf] to me
Cough at me
Покашляй мне
Покашляй на меня
?

Какие-то эмоции, не связанные с прямой деятельностью пекарни

а в данном случае пекарь используется в прямом смысле или в переносном? Если в переносном, то пекарь - метонимия или метафора?

1.
Какой падеж морфологизирует смысловую разницу:
покашляй мне ← врач говорит пациенту, чтобы услышать хрипы в легких(Дательный?)
покашляй на меня ← ребенок говорит другому ребенку, чтобы заразиться гриппом и не ходить в школу(Родительный?)
2.
Как соотносятся друг к другу:
Cough [kɒf] to me(Покашляй мне)
Cough at me(Покашляй на меня)

покашляй на меня ← ребенок говорит другому ребенку, чтобы заразиться гриппом и не ходить в школу(Родительный?)

Винительный → на кого?/на что?

в целом и общем можно так запомнить: если в русском падеж Винительный или еще какой, но не Дательный, то в английском скорее будет - at; в русском падеж Дательный, то в английском скорее будет - to. Но лучше все-таки понять ядерные схемы и пользоваться ими.

Доп. Вопрос:

Как соотносятся друг к другу:

Laugh [la:f] to me
Laugh at me
Смейся надо мной.
Смейся мне.

Придумай контексты для обоих случаев.

Laugh [la:f] to me (Смейся мне)-отбор актеров. Режиссёр просит человека посмеяться, чтобы посмотреть на его актерские способности.
Laugh at me (Смейся надо мной.)-один ребёнок смеётся над другим.

Все верно.