Что-то такое.
I had to run there. Было время приходилось бегать там. Глагол-связка?
I had a run there. Как-то пробегал я там. Я там как-то раз бегал (утром). Регулярный глагол.
I had run there. Тут уже контекст надо привлекать. Автор когда-то бегал там, это событие имеет какую-то причинно-следственную связь с более близким к моменту рассказа событием в прошлом. Служебный глагол для образования перфекта.

I had to run there. Было время приходилось бегать там. Глагол-связка?

нет, не связка. Связка ведь только для формальной структуризации = связывания деятеля и, например, признака/субстанции (I am a student), или если нужно семантически сделать глагольность из неглагольных сущностей - to be/to get smart и т.п.

had to run - по сути тоже самое что и I had a book, т.е. семантика владения, но только из-за вездесущего атропоцентристского understatement-a структура have a duty/an obligation to do smth метанимизировалась = свернулась в have to do smth = т.е. understatement поглотил широкозначное a duty, а дальше стяжением стянулось в to have to do smth что сейчас называют модальным глаголом, хотя have to не модальный глагол.

Остальное все верно.