Ответы:
Какая смысловая разница между suggest=предлагать, propose=предлагать и offer=предлагать?
IMHO:
offer - фактуальное предложение действия или предмета, партитивная структура - разовое действие, сочетается только с инфинитивом. Предложение здесь и сейчас. Режим ЖБК.
propose - полуотмеченность, может быть более или менее фактуальным и партитивным, сочетается и с инфинитивом и с герундием. Кроме того propose - формальный стиль - вносить предложение, предлагать руку и сердце, предлагать чью-л. кандидатуру, представлять (кандидата на должность).
suggest - не-фактуальное предложение действия или предмета, не-партитивная структура - название действия, либо многократно повторяющееся действие, сочетается только с герундием. Предложение, как проекция/прогноз/совет/желание. Режим “игра”

Задание:

1. One of his neighbors offered to mow his lawn. Один из соседей предложил (за одним) постричь и его газон.
   
2. One of his neighbors suggested mowing his lawn. Один из соседей указал на необходимость постригать газон.
   
3. A woman stopped and offered to help us. Какая-то женщина остановилась и предложила помочь нам.
   
4. He suggested a good idea. Он предложил хорошую идею.
   
5. He suggested to me going home (He suggested my going home). Он предложил мне уезжать домой (а не оставаться ночевать).
   
6. He offered to write down the address. Он предложил ей, что он (сам) запишет ей адрес.
   
7. He suggested that she should write down the address. Он предложил ей записать адрес.
   
8. Seeing that the little boy was frightened, Liz offered to take him home. Видя, что малыш испуган, Лиза предложила отвести его домой.
   
9. Several senators have proposed raising the tax. Несколько сенаторов предложили повышение налогов (как программу).
   
10. They propose to buy a new house. Они предлагают купить новый дом.
    
11. He proposed changing the name of the company. Он предложил смену имени компании (=периодический ребрендинг)
    
12. It was proposed to pay the money from public funds. Было предложено заплатить из государственных фондов.
    

В некоторых предложениях могут быть употреблены и другие глаголы, много зависит от контекста.