1. How dare you speak to me like this!
2. How dare you to speak to me like this!

Как ты смеешь так говорить со мной!
Как тебе удается так смело говорить со мной?

I asked them helpasked that they help her.
I asked if they will help her.

Я попросил их помогать ей.
Я спросил, будут ли они помогать ей.

Help me do it.
Help me to do it.

Помоги мне (через прямое участие) сделать это.
Помоги мне сделать это (например, подскажи как правильно).

I insist he live here.
I insist he lives here.

По поводу предложений с dare.

Во первых, я не вижу, где здесь сослагательность. Оба варианта с dare в interrogative mood. Во втором варианте после how нужен do, раз он используется как main verb. И когда он используется в этом значении, то вопрос из риторического становится реальным.

Вот отрывок из словарной статьи: The auxiliary forms differ subtly in meaning from the main verb forms in that they emphasize the attitude or involvement of the speaker while the main verb forms present a more objective situation. Thus How dare you operate this machinery without proper training? expresses indignation at the action, whereas How do you dare to operate this machinery without proper training? is a genuine request for information. When dare is used as a transitive verb meaning “challenge,” only main verb forms are possible and to is required: Anyone who dares him to attempt it will be sorry.

Именно этот смысл я и передал в переводе.

Я настаиваю на том, чтобы он жил здесь.
Я настаиваю на том, что он живет здесь.

How did he dare to strike me?
How dare you strike me?

Во втором варианте после how нужен do

Во первых, я не вижу, где здесь сослагательность.

Она в том, что частицы инфинитива нет и dare стал модальным глаголом.

Может быть в индийском варианте английского это и норма, но в американском и британском это ошибка. Я задал вопрос на двух англоязычных форумах, и мне сразу указали на ошибку. И в других местах, где эта тема обсуждается, пишут то же самое. Плюс, словарь не дает варианта How dare + to do.

Она в том, что частицы инфинитива нет и dare стал модальным глаголом.

А по смыслу-то она в чем здесь? Вопросы, риторические или буквальные, относятся к interrogative mood.

How did he dare to strike me? - Откуда он взял смелость напасть на меня?
How dare you strike me? - Как ты смеешь нападать на меня!

I recommended you to my employer.
I recommend you go to my employer.

Я порекомендовал тебя своему работодателю.
Я рекомендую тебе сходить к моему работодателю.

He suggested we be here.
He suggested that we should be here.

Он предложил нам побыть здесь.
Он настойчиво предложил нам побыть здесь.

Оба варианта в сослагательном. Индикатив: He suggested we were here - Он предположил, что мы здесь.

I would go there last year.
I would go there tomorrow.

Оба варианта в сослагательном.

Значит, если после dare инфинитив без to, то это тоже сослагательное наклонение?

Я обычно ходил туда в прошлом году.
Я бы пошел туда завтра.

Be it as it may!
I want to be as I am.

Значит, если после dare инфинитив без to, то это тоже сослагательное наклонение?

Голый инфинитив - это не синоним сослагательности, надо учитывать смысл. Dare может передавать условность, например, If…I daren't do/would dare to…(эту конструкцию я нашел у Palmer R.F. “The english verb”) В модальностях могут быть полуотмеченные или спорные случаи, но конструкция How dare.. к ним не относится и передает смысл возмущения или удивления уже свершившемся фактом (поступком, демонстрацией намерения и т.д.).

Будь что будет!
Я хочу быть собой.

I want him to go to the doctor.
I prefer he go to the doctor.

Я хочу, чтобы он сходил к врачу.
Я бы предпочел, чтобы он сходил к врачу.

I want to be nice.
I wish I were nice.

Я хочу быть милым.
Жаль, что я не милый.

If I was there, I would go to him.
If I were there, I would go to him.

Если случалось так, что я был там, то я приходил к нему.
Если бы я бывал там, я бы ходил к нему.

Спасибо.

Пожалуйста, но мы ведь еще по 10 заданий не сделали.

It is necessary that he be here.
It is necessary that he were here.

Его присутствие здесь необходимо.
Необходимо, чтобы (тогда) он находился здесь.

I fear lest he should be late.
I'm afraid he will be late.

Я боюсь, а вдруг он опоздает.
Я боюсь, что он опоздает.

Long live the king.
The king lived long.

Да здравствует король.
Король прожил долго.

He looks as if he knew the answer.
He looks as if he knows the answer.

Он выглядит так, как будто он знает ответ.
Он выглядит так, что он знает ответ.

I want her to win the game.
I wish she would win the game.

Я хочу, чтобы она выиграла игру.
Хорошо бы она выиграла игру.

I vote that we go home.
Let's go home.

Я за то, чтобы пойти домой.
Идем домой.

He brought her the letter so that she should translate it.
He brought her the letter so she translated it.

Он принес ей письмо, чтобы она его перевела.
Он принес ей письмо, и она его перевела.

Thank you!